時が止まるパラドックス

黒月樹人(KULOTSUKI Kinohito)

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 はじめに

 これは、アインシュタインの特殊相対性理論の批判ページである。
 アインシュタインの特殊相対性理論では、静止系の時間をt、運動系の時間をτとして、それらの関係式を導いている。
     τ=[1/{1-(v/c)2}1/2]{t-(v/c2)x}            (1-1)
 アインシュタインは、この式に
     x=vt                            (1-2)
を代入することにより、
     τ=t {1-(v/c)2}1/2                    (1-3)
を導いて、「運動系の時間τが静止系の時間tより小さくなる」ことを説いた[1][2]。
 このような解析結果だけが広まってゆき、運動系のすべてにおいて(1-3)の式で示される比で時間が遅れると考えられてきた。
 しかし、アインシュタインが(1-3)を導いたときの条件式(1-2)の意味を考えると、
     ξ=β(x-vt)                          (1-4)
     β=1/{1-(v/c)2}1/2                    (1-5)
の(1-4)に(1-2)を代入すれば分かるように、これは
     ξ=0                             (1-6)
という位置に限定された関係式なのである。

 時が止まるパラドックス

 アインシュタインは(1-1)にx=vt (1-2) を入れたが、これとは異なる位置を考えたときにどのようになるかを調べよう。
 ここでは(1-1)に
     x=αvt                            (2-1)
を入れよう。ここでαは未定係数である。
     τ=β{t-(v/c2)αvt }                     (2-2)
 すると、次のようになる。
     τ=β{1-α(v/c)2}t                      (2-3)
 ここで、このときのτがゼロとなるαの条件を求める。
     α=(c/v)2                          (2-4)
 これだけではよく分からないので、
     v=0.8c                          (2-5)
として数値計算を行う。
     α=1.5625                         (2-6)
     x=1.5625×0.8ct
      =1.25ct                         (2-7)
 αの値が1.5625のとき、v=0.8cとしているので、xは1.25ctとなる。
 ここで光速度cを越えているが、これは距離を計算するためであり、光速度を越えて何かが動いているわけではない。また、tを1秒とすると、xは30万キロメートルを超えてしまうが、この時間を小さくしてゆけば、xはどんどん小さくなってゆく。
 あるいは、運動系の座標ξとして、次のように書き換えることもできる。
     ξ=β(x−vt)
      =(1/0.6)(1.25ct−0.8ct)                (2-8)
      =0.75ct                         (2-9)
 運動系の座標ξとしては 0.75ct の距離である。
 この位置は、運動系がずうっと広がっているとすれば、そこに存在する位置である。
 この位置でどのようなことが起こるかというと、(2-3)でτがゼロとなるようにしてαを決めたのであるから、運動系の時間τが止まることになる。
 運動系の時が止まる位置があるということになる。
 そこではいったい何が起こるというのだろうか。

図1 運動系の時が止まる位置がある

 (Written by KLOTUKI Kinohito, Aug 12, 2018)

 参照資料

[1] 「運動している物体の電気力学について」、アインシュタイン選集1、湯川秀樹(監修)、中村誠太郎・谷川安孝・井上健(訳編)、共立出版(刊)、昭和46年3月1日
[2] 「アインシュタイン 特殊相対性理論」、内山龍雄訳・解説、岩波文庫、井波書店刊 1988-11-16

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