マクスウェル方程式とローレンツゲージによるスカラー電磁波方程式
Scalar Electromagnetic Wave Equation
by Maxwell Equations & Lorentz Gauge

黒月樹人(KULOTSUKI Kinohito, treeman9621)

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 要旨

 マクスウェル方程式をスカラーポテンシャルΦとベクトルポテンシャルAで書き変え、ΦとAの間にローレンツゲージを適用して生み出される、マクスウェル方程式に等価な方程式の中に、スカラー電磁波の方程式と考えられるものがある。

 マクスウェル方程式(Maxwell Equations)

 静電気や磁石のことは古くから知られていた。かつて、これらは別々の現象だと思われていた。18世紀から19世紀のころ、エールステッド(H. C. Oersted)、アンペール(A. M. Ampere)、ファラデー(M. Faraday)らが、電気と磁気とが何かしら結びついていることに気づき、これらの関係を調べだした。ファラデーは電磁誘導へとたどりついた。これに刺激を受けたマクスウェル(James C. Maxwell)は、これらの電磁気の現象を、数学的な記号による表現の方程式としてまとめた[6]。
 次の4つの方程式がマクスウェル方程式である。当時の表現ではなく、現代のベクトル解析の記述方式によって表わされている。これを調べたテキスト[2] によれば、「これまでにみてきた全ての電磁気現象を記述するもの」ということらしい。

   div D =ρ            (1) Gaussの法則
   div B = 0            (2) 磁気モノポールの非存在
   rot H −∂D /∂t =j       (3) Ampereの法則
   rot E +∂B /∂t= 0      (4) Faradayの電磁誘導の法則

 ここで、Dは電気変位、Bは磁束密度、Hは磁場、Eは電場、ρは電荷密度、jは電流密度を表わす。太文字で表わされているものはベクトルであり、通常の文字で表わされているρはスカラーである。もちろんtは時間である。∂D /∂tは電気変位Dの時間tに関する偏微分である。
 ベクトル解析の記号として使われているdivは発散を、rotは回転を表わす。回転の記号としてはcurlが用いられることもある。
 均質等方媒質中では、誘電率をε、透磁率をμとすると、次の(5)と(6)が成立する。

   D=εE           (5)
   B=μH           (6)

 Maxwell方程式から電磁波の存在を導く

 電磁波とは「電場と磁場の変動が空間を伝わることによって生じる波動現象」である。これについて、マクスウェルは、自らがまとめたMaxwell方程式から、このような現象を予測する、波動現象の数式を導いたのだそうだ。その後、ヘルツ(Hertz)によって、実際に電磁波が発見され、このような考察が妥当なものであったことが確かめられた。
 Maxwell方程式から波動の式を導くプロセスをたどってみよう。
 電磁波の条件として「電荷分布も電流分布もない、一様等方媒質中」を考える。この条件を式で表わせば、次の(7)〜(10)となる。

   ρ=0            (7)
   j = 0            (8)
   D=εE           (9)
   B=μH           (10)

 これらを(1)〜(4)に代入して、次の(11)〜(14)を得る。

   div (εE )=0 → div E =0                 (11)
   div B =0                              (12)
   rot(B /μ) −ε∂E /∂t =0 → rotB =εμ∂E /∂t      (13)
   rot E +∂B /∂t= 0 → rot E =−∂B /∂t          (14)

 (13)の両辺の回転をとる。

   rot rot B = grad(div B ) −△B
       =−△B                (15)
   εμ∂rotE /∂t =−εμ∂2B /∂t2        (16)

 (15) のところでは、ベクトル解析における公式を二種類使った[1]。一つは、この一行目のままの公式であり、二つ目はgrad(div B)=0 となるもの。
 (16) のところでは、(14) を代入した。
 (15) と (16) は等式 (13) の両辺であったから、これらを等しいものとすることができる。

   △B=εμ∂2B /∂t2         (17)

 ここで、次のようなvを定義する。sqr (#) は # の平方根を意味する。

   v =1 / sqr(εμ)          (18)

 (18) を(17) に代入して、次の (19) を得る。実は、これが波動方程式となっている。ここに組み込んだvが、これが示す波動の速度となる。実験値から、このときのvを求めると、光速度cと一致するようだ。

   △B=(1/v2)∂2B /∂t2         (19)

 今度は、(14) の両辺の回転をとる。

   rot rot E = grad(div E) −△E =−△E     (20)
   −∂rotB /∂t =−εμ∂2E /∂t2            (21)

 これらの (20) と (21) と (18) より、次の (22) を得る。これも波動方程式である。

   △E=(1/v2)∂2E /∂t2         (22)

 求めた (19) は磁束密度Bについての波動方程式であり、(22) は電場Eについての波動方程式である。そして、(13) と(14) により、電磁誘導の作用が保障されているので、これらの変化が、次々と伝わってゆくことになる。

 電磁場のポテンシャル

 Maxwell方程式を、適当な境界条件のもとで解くことによって、電場Eと磁場Hを求めるのは、かなりやっかいなことらしい。これに対して、これから示すような、スカラーポテンシャルΦとベクトルポテンシャルAを使ったほうが、はるかに簡単になるそうだ[2][3]。
 この方針によって、Maxwell方程式を変形する。
 任意のベクトル場Aをとる。そして、ベクトル解析の公式に div rot A = 0 というものがあるので、(2)のdiv B = 0と組み合わせて、div B = div rot A が得られる。ここから、発散前の部分を取り出して、次の (23) を得る。

   B=rot A             (23)

 この (23) 式を、電磁誘導の式 (4) rot E +∂B /∂t= 0に代入して整理すると、次の (24) となる。

   rot ( E +∂A /∂t )=0       (24)

 適当なスカラー関数Φを考え、ベクトル解析の公式を使って、rot grad Φ=0 とすることができるので、これを(24) と組み合わせて、次の (25) を得る。

   E=−grad Φ−∂A /∂t       (25)

 ここで、右辺第1項(−grad Φ)のマイナス符号は、後の便宜のために付けるのだそうだ。
 Maxwell方程式の(1)〜(4)のうち、ここまでで、(2)と(4)を使った。残っている(1) div D =ρと(3) rot H −∂D /∂t =j を変形させよう。ここでは、ρやjをゼロとしないで進めてゆく。ただし、均質等方媒質中で成立する、(5) D=εE と(6) B=μH を使う。これらを(1) と(3) に代入しよう。

   εdiv E =ρ             (26)
   (1/μ)rot B −ε∂E /∂t =j    (27)

 磁束密度Bは(23) B=rot Aで、電場Eは(25) E=−grad Φ−∂A /∂tで、それぞれ、ポテンシャルのΦとAに置き換えているので、これらを(26)と(27)に代入すればよい。
 このような変形において、次のベクトル解析の公式を使う。

   div grad Φ=△Φ           (28)
   rot rot A=grad (div A)−△A    (29)

     まず(26)より始めよう。

   εdiv E =ρ
   → εdiv (−grad Φ−∂A /∂t )=ρ
   → −εdiv grad Φ−ε∂div A /∂t=ρ
   → △Φ+∂div A /∂t=−ρ/ ε       (30)

 次に(27)を処理しよう。

   (1/μ)rot B −ε∂E /∂t =j
     → rot B −εμ∂E /∂t =μj
     → rot rot A −εμ∂(−grad Φ−∂A /∂t)/∂t =μj
     → grad (div A)−△A−εμ∂(−grad Φ−∂A /∂t)/∂t =μj
     → −△A+εμ∂2A /∂t2 +grad (εμ∂Φ/∂t+div A )=μj
     → △A−εμ∂2A /∂t2 −grad (εμ∂Φ/∂t+div A )=−μj   (31)

 ポテンシャルを使って表現したMaxwell方程式は、次の4つとなる。(30)や(31)は、かえって複雑になったようにも見えるが、この後、ここのところが、もっとシンプルな形に変形されることになる。

   B=rot A                             (23)
   E=−grad Φ−∂A /∂t                      (25)
   △Φ+∂div A /∂t=−ρ/ ε                      (30)
   △A−εμ∂2A /∂t2 −grad (εμ∂Φ/∂t+div A )=−μj     (31)

 ゲージ変換におけるローレンツ条件

 なんという偶然なのかと、私は驚いてしまうが、かつて、都市で地震波を利用した調査の仕事をしていたころに、深く考えることなく、何のことか分からないけれど、理解できるといいなあ、くらいの気分で、「ゲージ変換」とタイトルに組み込まれている本を、私は何冊か買っていて、それから15年ほど、引っ越しなどの変化に耐えて、何の価値もないと思われるような、山奥の片田舎の一部屋に、ホコリをかぶって並んでいた。「微分幾何学とゲージ理論」[4] や「ゲージ理論とトポロジー」[5] などである。まさか、こんな本を、今頃読むような「動機付け」が生まれるなんて、世の中や人生は、不思議な偶然で満ち溢れている。
 「ゲージ変換」や「ゲージ不変性」のことを、分かりやすく論じられるほどの理解は、まだまだ無いが、どうやら、これらの概念は、電磁気学の法則に潜む、より論理的な構造のことを暗示しているものらしい。
 マクスウェルの方程式に結実した、電磁気の現象を説明するための数学的表現は、何らかの論理によって演繹的に構成されたものではなく、実験結果を観測することによって、帰納的に導かれたものだという。ところが、そうして導かれたマクスウェルの方程式の中に、ゲージ不変性という性質が潜んでおり、これについての数学的な研究が「微分幾何学」や「トポロジー」の名のもと(同じ意味か)、何冊もの本となるほどに発展しているのだ。ここから、電磁気現象の奥底には、もっと体系的な何かが隠れているという可能性がありそうだ。
 ぐるぐる頭の中で論理を回していないで、もっと具体的な操作へと移ろう。
 上記の数式変化のところで導入した、スカラーポテンシャルΦとベクトルポテンシャルAは、div rot A = 0やrot grad Φ=0のような、ベクトル解析の恒等式のようなものを利用して導入している。かなり自由なものとなっている。このとき、これらの間に、関係式を一つ導入して、変数の数を減らすことができるはずである。
 任意の関数χを使って、次のように規定する例がある。

   Aχ=−gradχ        (32)
   Φχ=∂χ/ ∂t           (33)

 これは、表現として分かりやすい一例である。これによって、ゲージ変換やゲージ不変性について考察するのは、私の力量を越えてしまうので、ここでは、これ以上論じないことにする。
 先を進もう。上記解析の(31)を眺めてみよう。

   △A−εμ∂2A /∂t2 −grad (εμ∂Φ/∂t+div A )=−μj   (31)

 これは、かなり複雑な形となっているが、この (31) の中で、とくに邪魔になっているところを見よう。それはgrad (εμ∂Φ/∂t+div A )のところであろう。ここには、変数としてΦとAがある。χを使った上記の考察に習って、同じ表現にはならないが、これらのΦとAの間に一つの関係式を導入して、変数の数を減らすことができるはずである。
 ローレンツは、おそらく、このように考えて、ΦとAの間の関係式を次の(34)のように規定した。これがローレンツゲージ条件(Lorentz Gauge Condition)と呼ばれるものである。「ローレンツ条件」とか「ローレンツゲージ」とされることもある。

   div A+εμ∂Φ/∂t =0          (34)

 すると、(31)は、次の(35)となる。

   △A−εμ∂2A /∂t2=−μj   (35)

 ここで終わってはいけない。もう一つの複雑な関係式 (30) △Φ+∂div A /∂t=−ρ/ εがある。(34)という条件方程式があるのだから、ここにあるdiv A を直接(30)へと代入することができる。これを実行して、次の(36)が得られる。

   △Φ+∂div A /∂t=−ρ/ ε
   → △Φ+∂(−εμ∂Φ/∂t) /∂t=−ρ/ ε
   → △Φ−εμ∂2Φ/∂t2=−ρ/ ε      (36)

 さらに考察を続けよう。
 (35) でj=0, (36) でρ=0として、「電荷分布も電流分布もない、一様等方媒質中」を考えると、(18)を使って、次のように変形できる。

   △A=(1/v2)∂2A /∂t2      (37)
   △Φ=(1/v2)∂2Φ/∂t2       (38)

 (ここまでは、テキスト「電磁力学」[1] にならって、式の変形などを詳しく表現しただけのことにすぎない。ただ、このようなローレンツゲージの意味については、ほとんどのテキストが何もコメントしていない。ここから最後までが、黒月樹人の考えにもとづく考察である。これだけのことを述べるために、ここまでの表現が必要だったわけだ。しっかり時間がかかった。しかし、無駄ではないだろう。これまで意味が分からなかったローレンツゲージの必要性が明確なものとなり、スカラー電磁波への取り組みの手がかりが得られたのだから。)

 これらは波動方程式である。(37)はベクトルポテンシャルAについての波動方程式であり、(19)△B=(1/v2)∂2B /∂t2や(22) △E=(1/v2)∂2E /∂t2 を代表したようなものとなっているが、(38) は、スカラーポテンシャルΦに関する波動方程式である。
 「スカラー電磁波」が存在しているという情報が現れてきている。そのようなものが存在する「予想」は、おくればせながら、このようにして見出すことができる。ここでの解析の結果、「スカラー電磁波」も、通常のベクトル系の電磁波と同じように、光速度で伝わることになる。はたして、そうなのかどうかは、まだ、よく分かっていないかもしれない。
 (Written by KULOTSUKI Kinohito, Jan 3, 2012)

 追記

 「ローレンツは二人いる」というサイトページ[7][8] があり、調べてみると、「ローレンツ変換」のほうのローレンツは、ヘンドリック・ローレンツ(Hendrik Antoon Lorentz 1853-1928) オランダで、「ローレンツゲージ」のほうは、ルードヴィヒ・ローレンツ(Ludvig Valentin Lorenz 1829-1891) デンマークなのだそうだ [7]。よくよく考えてみれば、ローレンツと言う名で、多に有名な人として、生物学者の「コンラート・ローレンツ」[9] もいる。
 日本人だって、鈴木さんや佐藤さんは数え切れないほどおられる。実は、私の本名は、何(おそらくの単位で)人もの同姓同名の人がいるので、ハンドルネームの「黒月樹人」を使っているのだ。仮に、何らかの理由で私が、本名で、かのウィキペディアに取り上げられてしまったら、某アナウンサー、某彫刻家、某漫才師、某会社社長、某会社重役、某公務員などなど、多くの人に迷惑がかかってしまう。おそらく、「黒月樹人」は一人だけだろうし、treeman9621も世界で一つのコードとして通用しているようなので、他の人が追随するということはないだろう。
 「ローレンツゲージ」のほうのLorenzを「ローレンス」と書くべきかどうか、悩むところだが、「コンラート・ローレンツ」もLorenzのようだから、日本人が使う範囲においては「ローレンツ」でよいのかもしれない。ただし、「ローレンツ変換」のほうはLotentz Transformations であり、「ローレンツゲージ」のほうはLorenz Gauge と、これらのスペリングについては、きちんと書き分ける必要がある。
 (Written by KULOTSUKI Kinohito, Jan 5, 2012)

 追記2

 ローレンツゲージを適用することによって導き出される、上記(37)と(38)の方程式が「波動方程式」であることに言及している人がいた。「物理現象の数学的諸原理―現代数理物理学入門―」という本 [10] を書いた新井朝雄(北海道大学理学部数学専攻の教授)である。
 この本の「第7章 マクスウェル方程式、ゲージ場、ミンコフスキー時空」にある「7.6.3 ゲージ条件」の「ローレンツゲージ」の項目のところに、次のような記述がある。
 「dδ+δd=△LBと補題7.1を用いると、(中略)」、ここのところの最初の数式について説明すると複雑なことになるので、このあとの少しばかりの数式の展開は省略することにして、「ローレンツゲージ」の表現のところから「波動方程式」のところを引用しよう。

   −δA+(1/c2)∂Φ/∂t=0          (7.45)
   ((1/c2)∂2/∂t2+△LBA=*j/(c2ε0)     (7.46)
   ((1/c2)∂2/∂t2+△LB)Φ=ρ/ε0      (7.47)

 著者(新井朝雄)は、「もし、(7.45)が満たされれば、(7.37), (7.38)は、(7.46), (7.47) という、簡潔な美しい形をとる。これらは波動方程式に他ならない」と記している。ただし、この表現において、(7.45), (7.46), (7.47)のところには、上記の数式が入る。
 私(黒月樹人)が、ここで注目したいのは、(7.46)と(7.47)のところで、右辺が0ではなく、*j/(c2ε0) やρ/ε0が残っている状態で、「これらは波動方程式に他ならない」と言明されているところである。「そういうものなのか」と私は思った。このような項目が残っていてもかまわないのだとしたら、電荷密度ρや電流密度jが存在していてもかまわないということになる。より一般的な状態においても、ローレンツゲージによって導かれた波動方程式が成立するというのは、心強い指摘である。
 スカラーポテンシャルΦというものが波動として伝わる可能性を、このような理論式が明らかにしているのだ。デンマーク人のほうのローレンツは、ローレンツゲージという条件を想定することによって、数式が「簡潔な美しい形」をとり、それらが「波動方程式」の表現であるということに気づいていたかもしれない。
 ウェブで「スカラー電磁波」を調べてみると、これのウィキペディアのページ[11] が見つかる。ここには、次のような記述がある。

 スカラー電磁波(スカラーでんじは)は、ニコラ・テスラが発見したというテスラ波をもとにトーマス・ベアデン(1930年 -、サイコトロニクス協会、ニコラ・テスラ協会に所属)が「Grabitobiology(1991年)」で提唱した(仮説的な)電磁波の一種。その名の通り方向の概念を持たない。但し具体的な実証はなく、もっぱら疑似科学においてバズワードとして使用されている。

 「スカラー電磁波」は「(仮説的な)電磁波」で「もっぱら疑似科学においてバズワードとして使用されている」ものとなっているらしい。
 「スカラー電磁波」が微生物に対して、何らかの影響力をもっていることについて、大橋正雄が実験し、その結果を公表している([12]参照)。大橋正雄が考案した「無誘導コイル」を使えば、「スカラー電磁波」を生み出すことができるようだ。 清家新一はUFO機関の研究において、この「無誘導コイル」に相当するものを生み出しており[13]、後に、それが水の性質を変化させること見出して、「長生き水」を売り出したらしい。
 「無誘導コイル」と同じ作用をするものとして、通常のコイルの(磁石と見なしたときの)同極(たとえばN極どうし)を向かい合わせにしたものがある。これが、「ある電磁気学上の新しい現象」において利用されているらしい。これについての解釈や考察は、まだ途中なので、詳しく論じることはできないが、これまで、ぼんやりとしていたものごとの中に、「骨組み」もしくは「道筋」のようなものが見えてきたような気がする。
 「スカラー電磁波」は、どうやら、「疑似科学」のものではないようだ。

 (Written by KULOTSUKI Kinohito, Jan 8, 2012)

 追記3

 Maxwell Equations の人名部分を「マックスウェル」と読むか「マクスウェル」と読むか、何度か迷った。テキストによれば、どちらも使われている。そこで、英語の辞書のRandom Houseで発音を調べたところ、となっていた。ここでは「n. マクスウェル」と記されている。ただし、maxもなのであり、発音記号の のところを「大きく口を開けて強く言うア」とすれば、日本語として「アッ」と聞こえるのも無理はない。だから、maxを「マックス」と呼ぶように、Maxwellを「マクスウェル」と記しても、日本語的として間違いではないのだろう。
 とりあえず、せっかく調べたことでもあるので、Random Houseの表記に従って「マクスウェル」と訂正しておく。
 (Written by KULOTSUKI Kinohito, Jan 15, 2012)

 参照資料

[1] 「電磁力学」、牟田泰三(著)、岩波書店1992
[2] 「線形代数 ベクトル解析」、小西栄一、深見哲造、遠藤静男 (共著)、培風館1992(改訂第22刷発行)
[3] 「ポテンシャル」、佐藤正千代、新濃清志(共著)、培風館1984
[4] 「微分幾何学とゲージ理論」、茂木 勇、伊藤光弘(著)、共立出版株式会社1986
[5] 「ゲージ理論とトポロジー」、深谷賢治(著)、シュプリンガー・フェアラーク東京1995
[6] 「現代物理学」、江沢 洋(著)、朝倉書店1996
[7] 「ローレンツは二人いる」
[8] 「EMANの物理学・相対性理論・ローレンツは二人いる!」
[9] コンラート・ツァハリアス・ローレンツ(Konrad Zacharias Lorenz)
[10] 「物理現象の数学的諸原理―現代数理物理学入門―」、新井朝雄(著)、共立出版(刊) 2003 [11] 「スカラー電磁波」のウィキペディア(Wikipedia)
[12] スカラー電磁波は取り扱い注意
[13] 清家新一のダブルソレノイドは無誘導巻きコイルかもしれない

 

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